Question

8．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)．A（2，-1），B（-4，8）．
（1）求$\overrightarrow{AB}$的坐標(biāo)及|$\overrightarrow{AB}$|；
（2）求與$\overrightarrow{AB}$平行的單位向量；
（3）求與$\overrightarrow{AB}$平行且模長(zhǎng)為2的向量；
（4）求與$\overrightarrow{AB}$垂直的單位向量；
（5）求與$\overrightarrow{AB}$垂直且模長(zhǎng)為2的向量；
（6）求$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$；
（7）求$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OB}$上的射影；
（8）求$\overrightarrow{OB}$在$\overrightarrow{OA}$上的射影；
（9）求$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角．

Answer 1

分析 利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義和公式，向量的模的定義，以及一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影的定義，得出結(jié)論．

解答 解：∵O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2，-1），B（-4，8），
∴（1）$\overrightarrow{AB}$=（-6，9），|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{（-6）}^{2}{+9}^{2}}$=$\sqrt{117}$．
（2）與$\overrightarrow{AB}$平行的單位向量為$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$=（$\frac{-6}{\sqrt{117}}$，$\frac{9}{\sqrt{117}}$）=（-$\frac{2}{\sqrt{13}}$，$\frac{3}{\sqrt{13}}$），或-$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$=（$\frac{2}{\sqrt{13}}$，-$\frac{3}{\sqrt{13}}$）．
（3）求與$\overrightarrow{AB}$平行且模長(zhǎng)為2的向量為2•$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$=（-$\frac{36}{\sqrt{117}}$，$\frac{18}{\sqrt{117}}$）=（-$\frac{12}{\sqrt{13}}$，$\frac{6}{\sqrt{13}}$），或-2•$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$=（$\frac{12}{\sqrt{13}}$，-$\frac{6}{\sqrt{13}}$）．
（4）∵$\overrightarrow{m}$=（9，6）滿足$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}$=0，∴$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
故與$\overrightarrow{AB}$垂直的單位向量為$\frac{\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{m}|}$=（$\frac{9}{\sqrt{117}}$，$\frac{6}{\sqrt{117}}$）=（$\frac{3}{\sqrt{13}}$，$\frac{2}{\sqrt{13}}$），或-$\frac{\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{m}|}$=（-$\frac{3}{\sqrt{13}}$，-$\frac{2}{\sqrt{13}}$）．
（5）由（4）可得，與$\overrightarrow{AB}$垂直且模長(zhǎng)為2的向量為2$\frac{\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{m}|}$=（$\frac{18}{\sqrt{117}}$，$\frac{12}{\sqrt{117}}$）=（$\frac{6}{\sqrt{13}}$，$\frac{4}{\sqrt{13}}$），或?yàn)?2$\frac{\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{m}|}$=（-$\frac{6}{\sqrt{13}}$，-$\frac{4}{\sqrt{13}}$）．
（6）$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=（2，-1）•（-4，8）=-8+（-8）=-16．
（7）設(shè)$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OB}$上的射影為n，∵$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=n•|$\overrightarrow{OB}$|=n•$\sqrt{16+64}$=-16，∴n=-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
（8）設(shè)$\overrightarrow{OB}$在$\overrightarrow{OA}$上的射影k，∵$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=k•|$\overrightarrow{OA}$|=k•$\sqrt{5}$=-16，∴k=-$\frac{16\sqrt{5}}{5}$．
（9）設(shè)$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為θ，∵$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|•cosθ=$\sqrt{5}$•$\sqrt{80}$•cosθ=-16，
∴cosθ=-$\frac{4}{5}$，∴θ=π-arcos$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求向量的模，一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影，屬于中檔題．