Question

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C₁：x²+y²=1，以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，直線l：3cosθ-2sinθ=

-8

ρ

（Ⅰ）將曲線C₁上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的2倍、3倍后得到曲線C₂，試寫出直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C₂的參數(shù)方程；
（Ⅱ）求C₂上一點(diǎn)P到l的距離的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）直線l：3cosθ-2sinθ=

-8

ρ

化為3ρcosθ-2ρsinθ=-8，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入就看得出直線l的直角坐標(biāo)方程．由題意得曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為

x2

4

+

y2

9

=1，即可得出曲線C₂的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=3sinθ

（θ為參數(shù)）．
（Ⅱ） 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2cosθ，3sinθ），則點(diǎn)P到直線l的距離為d=

|6cosθ-6sinθ+8|

13

=

|6 2 cos(θ+ π 4 )+8|

13

，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ） 由題意知，直線l的直角坐標(biāo)方程為3x-2y+8=0．
由題意得曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為

x2

4

+

y2

9

=1，
∴曲線C₂的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=3sinθ

（θ為參數(shù)）．
（Ⅱ） 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2cosθ，3sinθ），
則點(diǎn)P到直線l的距離為d=

|6cosθ-6sinθ+8|

13

=

|6 2 cos(θ+ π 4 )+8|

13

，
∴當(dāng)cos(θ+

π

4

)=1時(shí)，dmax=

6 26 +8 13

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、橢圓的參數(shù)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．