如圖，已知在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA1=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC1∥平面CDB1
（2）求B1D與平面BCC1B1所成的角的正切值．
考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定
專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）連接B1C交BC1于點(diǎn)E，則DE為△ABC1的中位線，得到DE∥AC1，從而得到AC1∥面B1CD．
（2）取BC中點(diǎn)H，連接DH，則∠DBH為B1D與平面BCC1B1所成的角，即可求出B1D與平面BCC1B1所成的角的正切值．
解答： （1）證明：設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)E，則E為BC1的中點(diǎn)，連結(jié)DE，則在△ABC1中，DE∥AC1，
又DE?面CDB1，AC1?面CDB1，∴AC1∥平面B1CD．
（2）解：取BC中點(diǎn)H，連接DH，則DH平行且等于
1
2
AC1，
∵AC⊥平面BCC1B1，
∴DH⊥平面BCC1B1，
∴∠DBH為B1D與平面BCC1B1所成的角，
∵DH=
3
2
，B1H=
BH2+BB12
=2
5
，
∴tan∠DB1H=
DH
B1H
=
3
2
2
5
=
3
5
20
．
點(diǎn)評：本題考查證明線面平行的方法，求B1D與平面BCC1B1所成的角的正切值，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知冪函數(shù)f（x）=（m2-2m-2）xm-1為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）討論函數(shù)F（x）=a
f(x)
-
b
xf(x)
的奇偶性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1：x2+y2=1，以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，直線l：3cosθ-2sinθ=
-8
ρ

（Ⅰ）將曲線C1上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的2倍、3倍后得到曲線C2，試寫出直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C2的參數(shù)方程；
（Ⅱ）求C2上一點(diǎn)P到l的距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=2sin（2x+
π
6
），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期、單調(diào)區(qū)間和對稱軸．
（2）當(dāng)x∈[-
π
4
，
π
4
]時，求f（x）值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，一根水平放置的長方體枕木的安全負(fù)荷與它的寬度a成正比，與它的厚度d的平方成正比，與它的長度l的平方成反比．
（1）將此枕木翻轉(zhuǎn)90°（即寬度變?yōu)榱撕穸龋�，枕木的安全�?fù)荷會發(fā)生變化嗎？變大還是變小？為什么？
（2）現(xiàn)有一根橫截面為半圓（半圓的半徑為R）的柱形木材，用它截取成橫截面為長方形的枕木，其長度即為枕木規(guī)定的長度，問橫截面如何截取，可使安全負(fù)荷最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3-3x2，g（x）=f（x）+f′（x），（a＞0）
（1）求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）若x∈[0，2]，函數(shù)g（x）在x=0處取得最大值，在x=2處取得最小值，求a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=-x（x-a）2（x∈R）其中a∈R．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值．
（2）當(dāng)a=0時，不等式f（k-cosx）+f（cos2x-k2）≥0對任意x∈R恒成立．求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xex-x-2在區(qū)間[k，k+1]上有解，則實(shí)數(shù)k的取值集合是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

方程log3x+1-x=0的解的個數(shù)為
 
．

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同步練習(xí)冊答案