Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c，給出下列四個(gè)命題：
①當(dāng)c=0時(shí)，y=f（x）是奇函數(shù)；
②當(dāng)b=0，c＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對稱；
④函數(shù)y=f（x）至多有兩個(gè)零點(diǎn)．
其中正確命題的序號為①②③．

Answer 1

分析 ①利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷．②當(dāng)b=0時(shí)，得f（x）=x|x|+c在R上為單調(diào)增函數(shù)，方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)根．
③利用函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱的定義，可證得函數(shù)f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對稱．
④舉出反例如c=0，b=-2，可以判斷．

解答 解：①當(dāng)c=0時(shí)，函數(shù)f（x）=x|x|+bx為奇函數(shù)，故①正確．
②b=0，c＞0時(shí)，得f（x）=x|x|+c在R上為單調(diào)增函數(shù)，且值域?yàn)镽，故函數(shù)y=f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，故②正確．
③因?yàn)閒（-x）=-x|x|-bx+c，所以f（-x）+f（x）=2c，可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對稱，故③正確．
④當(dāng)c=0，b=-2，f（x）=x|x|-2x=0的根有x=0，x=2，x=-2，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)奇偶性、對稱性、單調(diào)性以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．對函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的充分理解，并用于二次函數(shù)當(dāng)中，是解決本題的關(guān)鍵．