Question

11．已知P={f（x）|存在正實數(shù)M，使得對定義域中的一切x都有|f（x）|≤M成立}，h（x）=2x-$\sqrt{1-x}$，x∈[0，1]，g（x）=$\sqrt{x-3}$-$\sqrt{x+2}$，則（　�。�

• A． g（x）∉P，h（x）∈P
• B． g（x）∈P，h（x）∈P
• C． g（x）⊆P，h（x）⊆P
• D． g（x）∈P，h（x）∉P

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）和g（x）的值域，確定是否存在M使有|f（x）|≤M成立即可．

解答 解：∵h(yuǎn)（x）=2x-$\sqrt{1-x}$，在x∈[0，1]上是增函數(shù)，
∴函數(shù)的最大值為h（1）=2，最小值為h（0）=-1，
則-1≤h（x）≤2，則有|f（x）|≤2恒成立，故當(dāng)M≥2時，不等式有|f（x）|≤M恒成立，即h（x）∈P．
若g（x）=$\sqrt{x-3}$-$\sqrt{x+2}$，由$\left\{\begin{array}{l}{x-3≥0}\\{x+2≥0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{x≥-2}\end{array}\right.$，即x≥3，
當(dāng)x=3時，g（3）=-$\sqrt{5}$，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x-3}}$-$\frac{1}{2\sqrt{x+2}}$=$\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x-3}}{2\sqrt{x+2}•\sqrt{x-3}}$，
當(dāng)x＞3時，$\sqrt{x+2}$＞$\sqrt{x-3}$，則g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，
∵$\sqrt{x-3}$＜$\sqrt{x+2}$，∴$\sqrt{x-3}$-$\sqrt{x+2}$＜0，
∴當(dāng)-$\sqrt{5}$≤g（x）＜0，則|g（x）|∈（0，$\sqrt{5}$]，
∴當(dāng)M≥$\sqrt{5}$時，|g（x）|≤M恒成立，
即g（x）∈P，
故選：B．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)條件利用函數(shù)的性質(zhì)或者求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域是解決本題的關(guān)鍵．