Question

13．過雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作直線y=$\frac{a}$x的垂線，垂足為A，交C的左支于B點，若$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OA}$，則C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OA}$，可得A為FB的中點，設F（c，0），由兩直線垂直的條件，可設直線BF的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），聯(lián)立直線y=$\frac{a}$x，求得A的坐標，再由中點坐標公式可得B的坐標，代入雙曲線的方程，運用離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：由$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OA}$，可得A為FB的中點，
設F（c，0），由題意可得直線BF的斜率為-$\frac{a}$，
直線BF的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），
聯(lián)立直線y=$\frac{a}$x，解得交點A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
由中點坐標公式可得B（$\frac{2{a}^{2}}{c}$-c，$\frac{2ab}{c}$），
代入雙曲線的方程可得$\frac{（2{a}^{2}-{c}^{2}）^{2}}{{a}^{2}{c}^{2}}$-$\frac{4{a}^{2}}{{c}^{2}}$=1，
即（2a²-c²）²-4a4=a²c²，
化為c²=5a²，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e=$\sqrt{5}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及中點坐標公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．