Question

5．如圖，將拋物線C₁：y=$\frac{1}{2}$x²+2x沿x軸對稱后，向右平移3個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位，得到拋物線C₂，若拋物線C₁的頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P是拋物線C₂上一點(diǎn)，則△POA的面積的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． 3.5
• C． 4
• D． 4.5

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)圖象變換規(guī)律得出C₂的解析式，求出直線OA的方程，則C₂的切線斜率與直線OA的斜率相等時(shí)，C₂上的點(diǎn)到直線OA的距離最短的點(diǎn)為切點(diǎn)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，得出到OA的距離即可求出三角形的面積．

解答 解：將C₁沿x軸對稱后得到y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x²-2x，然后向右平移3個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位得到C₂：y=-$\frac{1}{2}$（x-3）²-2（x-3）-5=-$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{7}{2}$．
∵A=（-2，-2），∴直線OA的方程為y=x．
設(shè)C₂的斜率為1的切線方程為y=x+k，切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀）則$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{0}+1=1}\\{{y}_{0}={x}_{0}+k}\\{{y}_{0}=-\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}-\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
解得x₀=0，y₀=-$\frac{7}{2}$．k=-$\frac{7}{2}$．
∴當(dāng)P點(diǎn)為（0，-$\frac{7}{2}$）時(shí)，P到直線OA的距離最短，最短距離為d=$\frac{|-\frac{7}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$．
又OA=2$\sqrt{2}$，∴△POA的面積的最小值為$\frac{1}{2}$OA•d=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{7\sqrt{2}}{4}=3.5$．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)圖象的變換，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．