Question

設(shè)ω=cos+isin，則以ω，ω³，ω⁷，ω⁹為根的方程是（ ）
A．x⁴+x³+x²+x+1=0
B．x⁴-x³+x²-x+1=0
C．x⁴-x³-x²+x+1=0
D．x⁴+x³+x²-x-1=0

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題目給出的ω，可求得其5次方為1，所以ω=cos+isin是x⁵+1=0的一個(gè)虛根，而方程x⁵+1=（x+1）（x⁴-x³+x²-x+1）=0的另外四個(gè)根就是ω，ω³，ω⁷，ω⁹
解答：解：因?yàn)棣?cos+isin，所以ω⁵+1=+1=cosπ+isinπ+1=0，
所以ω=cos+isin是方程x⁵+1=0的一個(gè)根，
因?yàn)?1=cosπ+isinπ，
則-1的5次方根為（k=0，1，2，3，4），
當(dāng)k=0時(shí)為ω，當(dāng)k=1時(shí)為ω³，當(dāng)k=3時(shí)為ω⁷，當(dāng)k=4時(shí)為ω⁹，
而x⁵+1=（x+1）（x⁴-x³+x²-x+1）=0，
故ω，ω³，ω⁷，ω⁹ 都是方程x⁴-x³+x²-x+1=0．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)三角形式的混合運(yùn)算，注意ω=cos+isin是x⁵+1=0的一個(gè)虛根，是基礎(chǔ)題．