Question

10．已知函數(shù)f（x）=2x³-ax²+6（a∈R）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=9時，求方程$f（x）=\sqrt{2}$的解的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)f（x）的極值，求出方程$f（x）=\sqrt{2}$的解的個數(shù)即可．

解答 解：（1）令$f′（x）=6x（{x-\frac{a}{3}}）=0$得x₁=0，${x_2}=\frac{a}{3}$，
當(dāng)a=0時，f′（x）=6x²≥0，則f（x）在R上遞增．
當(dāng)a＞0時，x₁＜x₂，由f′（x）＜0得$0＜x＜\frac{a}{3}$；由f′（x）＞0得x＜0或$x＞\frac{a}{3}$．
則f（x）在$（{0，\frac{a}{3}}）$上遞減，在（-∞，0），$（{\frac{a}{3}，+∞}）$上遞增．
當(dāng)a＜0時，x₁＞x₂，同理可得，f（x）在$（{\frac{a}{3}，0}）$上遞減，在$（{-∞，\frac{a}{3}}）$，（0，+∞）上遞增．
（2）當(dāng)a=9時，f′（x）=6x（x-3），
當(dāng)0＜x＜3時，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，3）上遞減．
當(dāng)x＜0或x＞3時，f′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，0），（3，+∞）上遞增，
∴f（x）在x=0處取得極大值f（0）=6，在x=3處取得極小值f（3）=-21，
∵$-21＜\sqrt{2}＜6$，
∴方程$f（x）=\sqrt{2}$的解的個數(shù)為3．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)的零點問題，是一道中檔題．