Question

6．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E為A₁B₁的中點(diǎn)，則下列五個(gè)命題：
①點(diǎn)E到平面ABC₁D₁的距離為$\frac{1}{2}$；
②直線BC與平面ABC₁D₁所成角為45°；
③空間四邊形ABCD₁在正方體六個(gè)面內(nèi)的射影圍成的圖形中，面積最小的值為$\frac{1}{2}$；
④BE與CD₁所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$；
⑤二面角A-BD₁-C的大小為$\frac{5π}{6}$．
其中真命題是②③④．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析 對5個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①由于A₁B₁∥平面ABC₁D₁，故B₁到平面ABC₁D₁的距離即點(diǎn)E到平面ABC₁D₁的距離，
連接B₁C交BC₁于F，則易得B₁F垂直于平面ABC₁D₁，而B₁F=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故點(diǎn)E到平面ABC₁D₁的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故①錯(cuò)；
②易得B₁C垂直于平面ABC₁D₁，故∠CBC₁為直線BC與平面ABC₁D₁所成的角，且為45°，故②正確；
③易得空間四邊形ABCD₁在正方體的面ABCD、面A₁B₁C₁D₁內(nèi)的射影面積為1，在面BB₁C₁C內(nèi)、面AA₁D₁D內(nèi)的射影面積為$\frac{1}{2}$，在面ABB₁A₁內(nèi)、面CC₁D₁D內(nèi)的射影面積為$\frac{1}{2}$，故③正確；
④BE與CD₁所成的角，即為BA₁與BE所成角，即為∠A₁BE，A₁E=$\frac{1}{2}$，BE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，BA₁=$\sqrt{2}$，cos∠A₁BE=$\frac{\frac{5}{4}+2-\frac{1}{4}}{2×\frac{\sqrt{5}}{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，sin∠A₁BE=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，故④正確；
⑤在直角三角形BAD₁中過A作AH垂直于BD₁，連接CH，易知CH垂直于BD₁，故∠AHC是二面角A-BD₁-C的平面角，由余弦定理得，cos∠AHC=$\frac{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-2}{2×\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}}$=-$\frac{1}{2}$，故∠AHC=$\frac{2π}{3}$，故⑤錯(cuò)．
故答案為：②③④

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷，考查空間線面位置關(guān)系，考查空間角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，知識綜合性強(qiáng)．