Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{a}^{2}+asinx+2}{{a}^{2}+acosx+2}$（x∈R）的最大值為M（a），最小值為m（a），則M（a）•m（a）=1．

Answer 1

分析 通過(guò)函數(shù)表達(dá)式可知f（x）表示點(diǎn)（a²+2，a²+2）與圓x²+y²=a²上點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，且斜率最大與最小的臨界值是直線(xiàn)與圓相切的時(shí)候，聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程，利用△=0，通過(guò)韋達(dá)定理即得結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{a}^{2}+asinx+2}{{a}^{2}+acosx+2}$=$\frac{{a}^{2}+2-（-asinx）}{{a}^{2}+2-（-acosx）}$（x∈R）
∴f（x）表示點(diǎn)（a²+2，a²+2）與圓x²+y²=a²上點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，
∴斜率最大與最小的臨界值是直線(xiàn)與圓相切的時(shí)候，即△=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-{a}^{2}-2）+{a}^{2}+2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，
消去x整理得：（1+k²）x²+2k（1-k）（a²+2）x+（1-k）²（a²+2）²-a²=0，
令△=0，即[2k（1-k）（a²+2）]²=4（1+k²）[（1-k）²（a²+2）²-a²]，
整理得：[（a²+2）²-a²]k²-2（a²+2）²k+（a²+2）²-a²=0，
由韋達(dá)定理可知：M（a）•m（a）=$\frac{（{a}^{2}+2）^{2}-{a}^{2}}{（{a}^{2}+2）^{2}-{a}^{2}}$=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合能力，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．