Question

6．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A（{\sqrt{3}，\frac{π}{6}}），B（{\sqrt{3}，\frac{π}{2}}）$，曲線 $C：ρ=2cos（{θ-\frac{π}{3}}）\;（ρ≥0）$．以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，求點(diǎn)A，B的直角坐標(biāo)及曲線C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M為曲線C上的動點(diǎn)，求|MA|²+|MB|²取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，可得A，B直角坐標(biāo)．曲線 $C：ρ=2cos（{θ-\frac{π}{3}}）\;（ρ≥0）$．即ρ²=2ρ$（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$，即可化為直角坐標(biāo)方程，通過配方利用平方關(guān)系可得參數(shù)方程．
（II）不妨設(shè)M$（\frac{1}{2}+cosθ，\frac{\sqrt{3}}{2}+sinθ）$，可得|MA|²+|MB|²=4-2sin$（α+\frac{π}{6}）$．利用sin$（α+\frac{π}{6}）$∈[-1，1]，即可得出．

解答 解：（I）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，則點(diǎn)$A（{\sqrt{3}，\frac{π}{6}}），B（{\sqrt{3}，\frac{π}{2}}）$的直角坐標(biāo)分別為：A$（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，B$（0，\sqrt{3}）$．
曲線 $C：ρ=2cos（{θ-\frac{π}{3}}）\;（ρ≥0）$．即ρ²=2ρ$（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²-x-$\sqrt{3}$y=0．
配方為：$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=1．
可得參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+cosθ}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}+sinθ}\end{array}\right.$．
（II）不妨設(shè)M$（\frac{1}{2}+cosθ，\frac{\sqrt{3}}{2}+sinθ）$，
則|MA|²+|MB|²=（cosα-1）²+sin²θ+$（\frac{1}{2}+cosθ）^{2}$+$（sinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=4-cosα-$\sqrt{3}$sinα=4-2sin$（α+\frac{π}{6}）$．
∵sin$（α+\frac{π}{6}）$∈[-1，1]，則4-2sin$（α+\frac{π}{6}）$∈[2，6]．
因此：|MA|²+|MB|²取值范圍是[2，6]．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)、圓的參數(shù)方程、兩點(diǎn)之間的距離公式、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．