Question

15．在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊，且$\frac{tanC}{tanB}=-\frac{c}{2a+c}$．
（I）求B；
（II）若b=2$\sqrt{3}$，a+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦定理和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)可得cosB=-$\frac{1}{2}$，即可求出答案，
（Ⅱ）由余弦定理可得ac的值，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理以及且$\frac{tanC}{tanB}=-\frac{c}{2a+c}$得：
$\frac{tanC}{tanB}$=-$\frac{sinC}{2sinA+sinC}$，
∴$\frac{sinCcosB}{cosCsinB}$=-$\frac{sinC}{2sinA+sinC}$，
∵C為△ABC的內(nèi)角，
∴sinC≠0，
∴$\frac{cosB}{cosCsinB}$=-$\frac{1}{2sinA+sinC}$，
∴2sinAcosB+sinCcosB=-cosCsinB，
∴2sinAcosB=-（cosCsinB+sinCcosB）=-sin（B+C）
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB=-sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=-$\frac{1}{2}$，
∵B為三角形的內(nèi)角，
∴B=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得b²=（a+c）²-2ac-2accosB，
將b=2$\sqrt{3}$，a+c=4，B=$\frac{2}{3}$π代入上式可得12=16-2ac（1-$\frac{1}{2}$），
∴ac=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面積公式以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題