Question

【題目】已知(，且為常數(shù)).

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若在區(qū)間內(nèi)，存在且時，使不等式成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】 (1) 時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)正負(fù)分類討論單調(diào)區(qū)間，（2）先根據(jù)單調(diào)性化簡不等式，構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)導(dǎo)數(shù)小于零有解，再利用變量分離法確定的取值范圍.

(1)∵(且為常數(shù))，∴，

∴①若時，當(dāng)，；當(dāng)時，，即時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

②若時，當(dāng)，；當(dāng)時，，即時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2)由(1)知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，∴不等式可化為，即，令，則在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴有解，即，∴有解，令，則，由得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，∴，故.