Question

5．已知x₁是函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x-（$\frac{1}{2}$）^x的零點(diǎn)，x₂是函數(shù)g（x）=log₂x-（$\frac{1}{2}$）^x的零點(diǎn)，則x₁x₂的取值范圍是（0，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，確定兩個零點(diǎn)的取值范圍，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵x₁是函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x-（$\frac{1}{2}$）^x的零點(diǎn)，x₂是函數(shù)g（x）=log₂x-（$\frac{1}{2}$）^x的零點(diǎn)，
∴l(xiāng)og${\;}_{\frac{1}{2}}$x₁=$（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}$，和log₂x₂=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}_{2}}$，
則由圖象可知，0＜x₁＜1，x₂＞1，∴x₁＜x₂，
則兩式相減得$（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}$-（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}_{2}}$=log₂x₁-$log_{\frac{1}{2}}}$x₂=log₂x₁+log₂x₂=log₂x₁x₂＜0
即0＜x₁x₂＜1，
故答案為：（0，1）．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合，以及指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．