Question

設(shè)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：
①；②．
（1）若等比數(shù)列為 ()階“期待數(shù)列”，求公比；
（2）若一個(gè)等差數(shù)列既是 ()階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）記階“期待數(shù)列”的前項(xiàng)和為：
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）若存在使，試問(wèn)數(shù)列能否為階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）．（2）．（3）（�。├�用前n項(xiàng)和進(jìn)行放縮證明．（ⅱ）數(shù)列和數(shù)列不能為階“期待數(shù)列”．

解析試題分析：（1）若，則由①=0，得，
由②得或．
若，由①得，，得，不可能．
綜上所述，．
（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，>0．
∵，∴，
∴，
∵>0，由得，，
由題中的①、②得，
，
兩式相減得，， ∴，
又，得，
∴．
（3）記，，…，中非負(fù)項(xiàng)和為，負(fù)項(xiàng)和為，
則，，得，，
（ⅰ），即．
（ⅱ）若存在使，由前面的證明過(guò)程知：
，，…，，，，…，，
且…．
記數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則由（ⅰ）知，，
∴=，而，
∴，從而，，
又…，
則，
∴，
與不能同時(shí)成立，
所以，對(duì)于有窮數(shù)列，若存在使，則數(shù)列