Question

【題目】已知a，b為常數(shù)，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，求f(x)的值域；

(3)若F(x)＝f(x)－f(－x)，試判斷F(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】(1) f(x)＝－x2＋x;(2) ;(3)詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:(1) 由f(2)＝0以及方程f(x)＝x有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根,求出a,b的值,代入原函數(shù)求出解析式;(2)對(duì)二次函數(shù)f(x)配方, 顯然函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù)，分別求出端點(diǎn)值得出函數(shù)的值域;(3)用奇函數(shù)的定義判斷并證明函數(shù)的奇偶性.

試題解析:

(1)已知f(x)＝ax2＋bx.

由f(2)＝0，得4a＋2b＝0，即2a＋b＝0①

方程f(x)＝x，即ax2＋bx＝x，

即ax2＋(b－1)x＝0有兩個(gè)相等實(shí)根，且a≠0，∴b－1＝0，∴b＝1，代入①得a＝－.

∴f(x)＝－x2＋x.

(2)由(1)知f(x)＝－ (x－1)2＋.顯然函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù)，

∴x＝1時(shí)，ymax＝，x＝2時(shí)，ymin＝0.∴x∈[1,2]時(shí)，函數(shù)的值域是.

(3)∵F(x)＝f(x)－f(－x)＝－＝2x.

∴F(x)是奇函數(shù)．

證明：∵F(－x)＝2(－x)＝－2x＝－F(x)，

∴F(x)＝2x是奇函數(shù)．

點(diǎn)睛:本題考查求函數(shù)的解析式,函數(shù)的值域以及函數(shù)的奇偶性. 二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值，它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)處取到；常見(jiàn)題型有：（1）軸固定區(qū)間也固定；（2）軸動(dòng)（軸含參數(shù)），區(qū)間固定；（3）軸固定，區(qū)間動(dòng)（區(qū)間含參數(shù)）. 找最值的關(guān)鍵是：（1）圖象的開(kāi)口方向；（2）對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系；（3）結(jié)合圖象及單調(diào)性確定函數(shù)最值.