Question

若函數(shù)f（x）滿足：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是R；（Ⅱ）對任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）f（x₂）；（Ⅲ）f（1）=

3

2

，則下列命題正確的是

 

（只寫出所有正確命題的序號）
①函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
③對任意n₁，n₂∈N，若n₁＜n₂，則f（n₁）＜f（n₂）；
④對任意x∈R，有f（x）≥-1．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)抽象函數(shù)的定義和關(guān)系式結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可判斷①②，利用賦值法可以判斷③④．

解答： 解：令x₁=1，x₂=0，f（1+0）+f（1-0）=2f（1）f（0），
即2f（1）=2f（1）f（0），
∵f（1）=

3

2

，∴f（0）=1．
令x₁=0，x₂=x，
則f（x）+f（-x）=2f（0）f（x）=2f（x），
則f（-x）=f（x），
故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故②正確，①錯誤．
∵f（1）=

3

2

，
∴f（1+1）+f（1-1）=2f（1）f（1），
即f（2）=2f²（1）-f（0）=2×（

3

2

）²-1=

7

2

，
f（2+1）+f（1）=2f（1）f（2），
即f（3）=2f（1）f（2）-f（1）=2×

3

2

×

7

2

-

3

2

=

18

2

，
同理f（4）=

47

2

，
由歸納推理得對任意n₁，n₂∈N，若n₁＜n₂，則f（n₁）＜f（n₂）正確；故③正確，
令x₁=x₂=x，則由f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）f（x₂）
得f（2x）+f（0）=2f（x）f（x）=2f²（x），
即f（2x）+1=2f²（x）≥0，
∴f（2x）+1≥0，即f（2x）≥-1．
∴對任意x∈R，有f（x）≥-1．故④正確．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．