Question

已知f（log₂x）=

x2-2x+1

（1）求f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）比較f（x+1）與f（x）的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法,不等關(guān)系與不等式

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用換元法求f（x）的解析式；（2）根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）通過(guò)單調(diào)性比較兩個(gè)數(shù)的大小，注意分類討論．

解答： 解：（1）令t=log₂x，則x=2^t；
∴f(t)=

(2t-1)2

=|2t-1|，
∴f（x）=|2^x-1|．
（2）f（x）=|2^x-1|=

2x-1，x≥0 1-2x，x＜0

，
則f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）①當(dāng)x+1＜0，即x＜-1時(shí)，
∵x＜x+1＜0，∴f（x）＞f（x+1）；
②當(dāng)x＞0時(shí)，
∵0＜x＜x+1，∴f（x）＜f（x+1）；
③當(dāng)x＜0＜x+1，即-1＜x＜0時(shí)，
f（x+1）-f（x）=2^x+1-1-（1-2^x）
=2^x+1+2^x-2=3.2^x-2，

當(dāng)-1＜x≤log2 2 3     f(x+1)≤f(x) 當(dāng)log2 2 3 ＜x＜0       f(x+1)＞f(x)

，
綜上：

x≤log2 2 3     f(x+1)≤f(x) x＞log2 2 3     f(x+1)＞f(x)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了換元法求函數(shù)解析式，函數(shù)的單調(diào)性的判斷及利用單調(diào)性比較兩個(gè)數(shù)的大小，注意必要的分類討論．