Question

已知函數(shù)f（x）=

1-x

-

1+x

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)還是減函數(shù)？請說明理由；
（3）已知a＞0，a≠1，解關(guān)于x不等式：f[log_a（2^x+1）]+2cos

5π

12

＜0．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義進行判斷；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷；
（3）分情況進行討論．

解答： 解：（1）因為f（x）的定義域為[-1，1]，
∴f（-x）=

1+x

-

1-x

=-（

1-x

-

1+x

_=-f（x），
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）設(shè)-1≤x₁＜x₂≤1，
∴f（x₁）-f（x₂）=（

1-x1

-

1+x1

)-(

1-x2

-

1+x2

)-（

1-x2

-

1+x2

）=

2(x2-x1)

( (1-x1 + 1+x1 )( 1-x2+ 1+x2)

∴分母為正，分子2（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
函數(shù)f（x）在定義域[-1，1]上是單調(diào)減函數(shù)．
（3）令t=

1-x

-

1+x

，不等式：f[log_a（2^x+1）]+2cos

5π

12

＜0可化為：

1-t

-

1+t

＜-2cos

5π

12

，
兩邊平方化簡得：t2＞

1

4

，所以t＜-

1

2

或t＞

1

2

當(dāng)a＞1時，
log_a（2^x+1）]＜-

1

2

或log_a（2^x+1）]+》

1

2

解集為{x|log2(

a

-1)＜x≤log2(a-1)}；
當(dāng)0＜a＜1時，解集為空集．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，對數(shù)有關(guān)的不等式，屬于中檔題．