Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在是單調(diào)函數(shù)，求的值；

（2）若對，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求出方程的兩根，，然后分、、三種情況討論，分析在區(qū)間的符號，結(jié)合題意可得出實(shí)數(shù)的值；

（2）分、、和四種情況討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，得出在上恒成立的等價條件為，然后在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域，利用平移直線的方法求出的取值范圍.

（1），，

令，解得，．

①當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上也單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

則函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題目要求；

③當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題目要求；

綜上所述，；

（2）以導(dǎo)函數(shù)的兩個零點(diǎn)為界點(diǎn)討論：

①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上恒成立；

②當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．在上單調(diào)遞增，在上恒成立；

③當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上恒成立；

④當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上恒成立；

綜合①②③④，在上恒成立.

在平面直角坐標(biāo)系中作出不等式組表示的平面區(qū)域（可行域）如下圖：

設(shè)，

則，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，截距最大，此時最大值，由解得最優(yōu)解，則.

當(dāng)直線向軸負(fù)方向無限平移時，截距，此時．

所以，的取值范圍是.