Question

已知函數(shù)f（x）=lg（x²-2x+m），其中m∈R，且m為常數(shù)．
（1）求這個(gè)函數(shù)的定義域； 
（2）函數(shù)f（x）的定義域與值域能否同時(shí)為實(shí)數(shù)集R？證明你的結(jié)論．
（3）函數(shù)f（x）的圖象有無平行于y軸的對(duì)稱軸？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求這個(gè)函數(shù)的定義域； 
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)f（x）的定義域與值域．
（3）根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由x²-2x+m＞0，且△=4（1-m）
當(dāng)△＞0，即m＜1時(shí)，x＞1+

1-m

或x＜1-

1-m

當(dāng)△=0，即m=1時(shí)，x≠1
當(dāng)△＜0，即m＞1時(shí)，x∈R
綜上，當(dāng)m＞1時(shí)，f（x）定義域?yàn)镽，
當(dāng)m=1時(shí)，f（x）定義域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞），
當(dāng)m＜1時(shí)，f（x）定義域?yàn)?span id="0y55ky4" class="MathJye">(-∞，1-

1-m

)∪(1+

1-m

，+∞)
（2）由（1）知，要使函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，須m＞1，
要使函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽，須△=4-4m≥0，即 m≤1
兩者同時(shí)成立須

m＞1 m≤1

，m無解，即不可能f（x）的定義域與值域能否同時(shí)為實(shí)數(shù)集R．
（3）設(shè)存在直線x=a（a≠0），滿足f（x）=f（2a-x），
∴l(xiāng)g（x²-2x+m）=lg[（2a-x）²-2（2a-x）+m]
化簡(jiǎn)得（1-a）（x-a）=0∴a=1
故函數(shù)f（x）的圖象有平行于y軸的對(duì)稱軸x=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，值域，對(duì)稱性的應(yīng)用．