Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點A（1，

2

2

），其焦距為2．

（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則橢圓在其上一點A（x₀，y₀）處的切線方程為

x0x

a2

+

y0y

b2

=1，試運用該性質(zhì)解決以下問題：
（i）如圖（1），點B為C₁在第一象限中的任意一點，過B作C₁的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點，求△OCD面積的最小值；
（ii）如圖（2），過橢圓C₂：

x2

8

+

y2

2

=1上任意一點P作C₁的兩條切線PM和PN，切點分別為M，N．當(dāng)點P在橢圓C₂上運動時，是否存在定圓恒與直線MN相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）依題意得：橢圓的焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），由橢圓定義知：2a=|AF₁|+|AF₂|，即可求出a，b，從而可求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）（i）確定S△OCD=

1

x2y2

，再結(jié)合基本不等式，即可求△OCD面積的最小值；
（ii）先求出直線MN的方程，再求出原點O到直線MN的距離，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）依題意得：橢圓的焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），由橢圓定義知：2a=|AF₁|+|AF₂|，
∴a=

2

，c=1∴b=1，所以橢圓C₁的方程為

x2

2

+y2=1．…（4分）
（II）（�。┰O(shè)B（x₂，y₂），則橢圓C₁在點B處的切線方程為

x2

2

x+y2y=1
令x=0，yD=

1

y2

，令y=0，xC=

2

x2

，所以S△OCD=

1

x2y2

…（5分）
又點B在橢圓的第一象限上，所以x2＞0，y2＞0，

x22

2

+y22=1，
∴1=

x22

2

+y22≥2

x22 2 y22

=

2

x2y2…（7分）
∴S△OCD=

1

x2y2

≥

1

2

=

2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)

x22

2

=y22?x2=

2

y2=1
所以當(dāng)B(1，

2

2

)時，三角形OCD的面積的最小值為

2

…（9分）
（ii）設(shè)P（m，n），則橢圓C₁在點M（x₃，y₃）處的切線為：

x3

2

x+y3y=1

又PM過點P（m，n），所以

x3

2

m+y3n=1，同理點N（x₄，y₄）也滿足

x4

2

m+y4n=1，
所以M，N都在直線

x

2

m+yn=1上，
即：直線MN的方程為

m

2

x+ny=1…（12分）
所以原點O到直線MN的距離d=

1

m2 4 +n2

=

2

2

，…（13分）
所以直線MN始終與圓x2+y2=

1

2

相切．…（14分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查三角形面積的計算，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．