已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若xf′（x）-f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）求函數(shù)的定義域，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）化簡不等式，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最大值，問題得以解決．
解答： 解：（1）要使函數(shù)有意義，則x＞0，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=
1
x
+2ax=
2ax2+1
x
，
若a≥0，則f'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，即增區(qū)間為（0，+∞）．
若a＜0，由f′（x）＞0得x＞
1
-2a
，
由f′（x）＜0得0＜x＜
1
-2a
，即此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為（0，
1
-2a
），增區(qū)間為（
1
-2a
，+∞），
綜上：若a≥0，函數(shù)的增區(qū)間為（0，+∞）．
若a＜0，函數(shù)的減區(qū)間為（0，
1
-2a
），增區(qū)間為（
1
-2a
，+∞）．
（2）∵xf′（x）-f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴2ax2+1-lnx-ax2＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴a＞
lnx-1
x2
在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)g（x）=
lnx-1
x2
，
∴g′（x）=
3-2lnx
x3
，
由g′（x）＜0得x＞e
3
2
，函數(shù)單調(diào)遞減，
由g′（x）＞0得0＜x＜e
3
2
，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=e
3
2
時(shí)，函數(shù)g（x）有最大值，即g（x）max=g（e
3
2
）=
1
2e3
，
∴a＞
1
2e3
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系，以及恒成立問題，分離參數(shù)，求最值是常用的方法，屬于中檔題
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x+1）的定義域?yàn)閇-2，3]，則函數(shù)f（2x-1）的定義域?yàn)?div id="gaos6mi" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l1：（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0與直線l2：m2x-
4
3
n2y+4=0．
（1）當(dāng)實(shí)數(shù)a，b變化時(shí)，求證：直線l1過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若直線l2通過直線l1的定點(diǎn)，求點(diǎn)（m，n）所在曲線C的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），P（x0，0）（x0＞0），過點(diǎn)P的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)都在x軸上方），且
F1A
=3
F2B
，求此直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若f（n）=
n2+1
-n，g（n）=n-
n2-1
，φ（n）=
1
2n
（n∈N），則三者的大小關(guān)系是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若y=f（x）的定義域是[0，1]，則函數(shù)y=f（x+1）的定義域是
 
，y=f（sinx）的定義域是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-ax2+bx+3，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，則a2+b2的最小值為（　　）
A、
9
5
B、
11
5
C、2
D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為
3
，則直線BC1與平面AA1B1B所成角的正切值為（　�。�
A、
2
2
B、
2
4
C、
3
2
D、
3
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（文）已知數(shù)列{an}，如果數(shù)列{bn}滿足b1=a1，bn=an+an-1（n≥2，n∈N*），則稱數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}的“生成數(shù)列”．
（1）若數(shù)列{an}的通項(xiàng)為數(shù)列an=n，寫出數(shù)列{an}的“生成數(shù)列”{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{dn}的通項(xiàng)為數(shù)列dn=2n+n，求數(shù)列{dn}的“生成數(shù)列”{pn}的前n項(xiàng)和為Tn；
（3）若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn=An+B，（A，B是常數(shù)），試問數(shù)列{cn}的“生成數(shù)列”{ln}是否是等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?2，2），導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=x2+2cosx且f（0）=0，則滿足f（1+x）+f（x2-x）＞0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為（　　）
A、（-∞，+∞）
B、（-1，1）
C、(-∞，1-
2
)∪(1+
2
，+∞)
D、(-1，1-
2
)∪(1，1+
2
)

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