Question

設虛數(shù)z₁,z₂，滿足.

(1)若z₁,z₂又是一個實系數(shù)一元二次方程的兩根，求z₁, z₂。

(2)若z₁=1+mi(i為虛數(shù)單位，m∈R), ,復數(shù)w=z₂+3,求|w|的取值范圍。

Answer 1

(1)  或   。

(2) .

解析:

(1)∵z₁, z₂是一個實系數(shù)一元二次方程的兩個虛根，因此必共軛，

可設z₁=a+bi(a,b∈R且b≠0),則z₂=a－bi,

由 得(a+bi)²=a－bi

即： a²－b²+2abi=a－bi

根據(jù)復數(shù)相等，

∵b≠0 解得：   或   ，

∴  或   。

(2)由于 ，z₁=1+mi, w=z₂+3, 

∴w=(1+mi)²+3=4－m²+2mi.

∴ ,

由于且m≠0, 可解得0<m²≤1, 令m²=u, ,

在u∈(0,1)上，(u－2)²+12是減函數(shù)，∴.

復數(shù)這一章中去掉了三角形式,降低了難度，但在復數(shù)的基本概念、運算、復數(shù)與方程、復數(shù)與幾何這些部分仍然有許多可考查的內(nèi)容，并且還可以與其它的數(shù)學知識相結(jié)合。