Question

14．如圖所示，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)接于半徑為$\sqrt{3}$的半O，四邊形ABCD為正方形，則該四棱柱的體積最大時，AB的長為2．

Answer 1

分析 設(shè)AB=a，BB₁=h，求出a²=6-2h²，故正四棱柱的體積是V=a²h=6h-2h³，利用導(dǎo)數(shù)，得到該正四棱柱體積的最大值，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)AB=a，BB₁=h，
則OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，連接OB₁，OB，則OB²+BB₁²=OB₁²=3，
∴$\frac{{a}^{2}}{2}$+h²=3，
∴a²=6-2h²，
故正四棱柱的體積是V=a²h=6h-2h³，
∴V′=6-6h²，
當(dāng)0＜h＜1時，V′＞0，1＜h＜$\sqrt{3}$時，V′＜0，
∴h=1時，該四棱柱的體積最大，此時AB=2．
故答案為：2．

點評 本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，借助導(dǎo)數(shù)研究出四棱柱的體積最大，是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ褪墙鉀Q一個實際問題的關(guān)鍵，學(xué)習(xí)時要注意積累此類題中模型的建立方法．