Question

5．橢圓b²x²+a²y²=1（a＞b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，上頂點為B，若∠ABF=90°，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Answer 1

分析 化橢圓方程為標準方程，根據(jù)∠ABF=90°可知AF²=AB²+BF²，轉(zhuǎn)化成關(guān)于m，n，c的關(guān)系式，再根據(jù)m，n和c的關(guān)系進而求得m和c的關(guān)系，則橢圓的離心率可得．

解答 解：由b²x²+a²y²=1（a＞b＞0），得$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{^{2}}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{{a}^{2}}}=1$，
設(shè)${m}^{2}=\frac{1}{^{2}}，{n}^{2}=\frac{1}{{a}^{2}}$，（m＞n＞0）．
則橢圓方程化為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}=1$（m＞n＞0）．
作出橢圓圖象如圖：
則AF=m+c，AB=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，BF=$\sqrt{{n}^{2}+{c}^{2}}$．
由題意可得：AF²=AB²+BF²，
∴（m+c）²=m²+n²+n²+c²，
∵m²=n²+c²
∴m²-c²=mc，⇒e²+e-1=0．
∴e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（負值舍去）．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的標準方程和簡單性質(zhì)、直角三角形的判定等知識，是中檔題．