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13.已知函數f(x)=(a+2)lnx+$\frac{1}{2}$x2-2ax.
(1)當a=1時,求f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
(2)求f(x)的單調區(qū)間.

分析 (1)求出函數的導數,計算f(1),f′(1),求出切線方程即可;
(2)求出函數的導數,通過討論a的范圍,求出函數的單調區(qū)間即可.

解答 解:(1)a=1時,f(x)=3lnx+$\frac{1}{2}$x2-2x,(x>0),
f′(x)=$\frac{3}{x}$+x-2,f′(1)=2,f(1)=$\frac{3}{2}$,
故切線方程是:y-$\frac{3}{2}$=2(x-1),
即:4x-2y-1=0;
(2)f′(x)=$\frac{{x}^{2}-2ax+(a+2)}{x}$,(x>0),
令h(x)=x2-2ax+(a+2),(x>0),
△=4${(a-\frac{1}{2})}^{2}-9$,
令h(x)=0,解得:x=a±$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$,
①a>2時,△>0,
x1=a-$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$>0,
∴在(0,a-$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$)上,h(x)>0,
在(a-$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$,a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$)上,h(x)<0,
在(a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$,+∞)上,h(x)>0,
∴f(x)在(0,a-$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$)遞增,在(a-$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$,a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$)遞減,在(a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$,+∞)遞增;
②-1≤a≤2時,△≤0,h(x)≥0在R恒成立,
故f(x)在(0,+∞)遞增;
③-2≤a<-1時,△>0,
x1=a-$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$<0,x2=a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$≤0,
∴h(x)>0在(0,+∞)恒成立,
故f(x)在(0,+∞)遞增;
④a<-2時,△>0,
x1=a-$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$<0,x2=a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$>0,
∴在(0,a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$)上,h(x)<0,在(a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$,+∞)上,h(x)>0,
故f(x)在(0,a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$)遞減,在(a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$,+∞)遞增;
綜上,a≥2時,f(x)在(0,a-$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$)遞增,在(a-$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$,a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$)遞減,在(a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$,+∞)遞增;
-2≤a<2時,f(x)在(0,+∞)遞增,
a<-2時,f(x)在(0,a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$)遞減,在(a+$\sqrt{{a}^{2}-a-2}$,+∞)遞增.

點評 本題考查了切線方程問題,考查函數的單調性問題,考查導數的應用以及分類討論思想,是一道中檔題.

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