Question

設(shè)x，y，z∈R，且x+2y+3z=1
（1）當(dāng)z=1，|x+y|+|y+1|＞2時(shí)，求x的取值范圍；
（2）當(dāng)x，y，z∈R⁺時(shí)，求u=

x2

x+1

+

4y 2

2y+1

+

9z2

3z+1

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)z=1時(shí)，y=-1-

x

2

，原不等式化為|x-2|+|x|＞4，再通過對自變量x的取值范圍的分類討論，去掉絕對值符號，即可求得x的取值范圍；
（2）依題意，利用柯西不等式4μ=（

x2

x+1

+

4y 2

2y+1

+

9z2

3z+1

）[（x+1）+（2y+1）+（3z+1）]≥（x+2y+3z）²=1，從而可求得μ的最小值．

解答： 解：（1）當(dāng)z=1時(shí)，y=-1-

x

2

，從而|x-2|+|x|＞4．  …（2分）
①當(dāng)x≤0時(shí)，2-x-x＞4，解得x＜-1；
②當(dāng)0＜x≤2時(shí)，2-x+x＞4，無解；
③當(dāng)x＞2時(shí)，x-2+x＞4，解得x＞3．綜上，x的取值范圍是{x|x＜-1或x＞3}…6
（Ⅱ）∵x+2y+3z=1，x，y，z∈R⁺，
∴4μ=（

x2

x+1

+

4y 2

2y+1

+

9z2

3z+1

）[（x+1）+（2y+1）+（3z+1）]≥（x+2y+3z）²=1，
∴μ≥

1

4

．…（10分）    
 當(dāng)

x

x+1

=

2y

2y+1

=

3z

3z+1

，即x=2y=3z=

1

3

，x=

1

3

，y=

1

6

，z=

1

9

時(shí)，μ_min=

1

4

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查通過分類討論去掉絕對值符號，突出等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與柯西不等式的應(yīng)用考查，屬于難題．