Question

18．設函數(shù)f（x）=ax²+（b-2）x+3（a≠0）．
（1）若不等式f（x）＞0的解集為（-1，3），求a，b的值；
（2）若f（1）=3，a＞0，b＞0，求$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由不等式f（x）＞0的解集（-1，3）．-1，3是方程f（x）=0的兩根，由根與系數(shù)的關系可求a，b值；
（2）由f（1）=3，得到a+b=2，將所求變形為$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）展開，整理為基本不等式的形式求最小值．

解答 解：（1）由f（x）＞0的解集是（-1，3）知-1，3是方程f（x）=0的兩根，
由根與系數(shù)的關系可得$\left\{\begin{array}{l}{-1×3=\frac{3}{a}}\\{-1+3=-\frac{b-2}{a}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$；
（2）f（1）=3得a+b=2，
∵a＞0，b＞0
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}$=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{a}+\frac{4a}$）$≥\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{a}×\frac{4a}}$）=$\frac{9}{2}$；
當且僅當b=2a時取得等號．
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值是$\frac{9}{2}$．

點評 此題考查了一元二次不等式與方程根的關系以及利用基本不等式求代數(shù)式的最小值；關鍵是適當變形．