Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足|2x+y+1|≤|x+2y+2|，且-1≤y≤1，則z=2x+y的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=2x+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=2x+y過可行域內(nèi)的角點(diǎn)時(shí)，從而得到z=2x+y的最大值即可．

解答： 解：先根據(jù)約束條件|2x+y+1|≤|x+2y+2|，-1≤y≤1，化間可得
①

2x+y+1≥0 x+2y+2≥0 x-y-1≤0

，或 ②

2x+y+1≥0 x+2y+2≤0 x+y+1≤0

，或 ③

2x+y+1≤0 x+2y+2＞0 x+y+1≥0

，或④

2x+y+1≤0 x+2y+2≤0 x-y-1≥0

．
畫出可行域，如圖陰影部分，設(shè)z=2x+y，
將z的值轉(zhuǎn)化為直線z=2x+y在y軸上的截距，
顯然當(dāng)直線z=2x+y經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）時(shí)，z最大，且最大值為5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．目標(biāo)函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關(guān)鍵點(diǎn)、定出最優(yōu)解，屬于中檔題．