Question

已知圓x²+y²-x=0與直線x+y-1=0交于P，Q兩點(diǎn)，動(dòng)圓C過P，Q兩點(diǎn)．
（1）若圓C圓心在直線y=

1

2

x上，求圓C的方程；
（2）求動(dòng)圓C的面積的最小值；
（3）若圓C與x軸相交于兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)N橫坐標(biāo)大于1）．若過點(diǎn)M任作的一條與圓O：x²+y²=4交于A，B兩點(diǎn)直線都有∠ANM=∠BNM，求圓C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）由題意可設(shè)圓C方程為x²+y²-x+λ（x+y-1）=0，圓C圓心在直線y=

1

2

x上即可得出λ．
（2）由（1）可得r2=

1

2

(λ+

1

2

)2+

1

8

≥

1

8

，即可得出動(dòng)圓C的面積的最小值．
（3）設(shè)圓C方程為x²+y²-x+λ（x+y-1）=0，令y=0，x²+（λ-1）x-λ=0，可得x_M=1，x_N=-λ，-λ＞1．設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），代入x²+y²=4得，（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得根與系數(shù)的關(guān)系，由于∠ANM=∠BNM，可得

y1

x1+λ

+

y2

x2+λ

=0，代入解出即可．

解答： 解：（1）設(shè)圓C方程為x²+y²-x+λ（x+y-1）=0，
(x-

1-λ

2

)2+(y+

λ

2

)2=

2λ2+2λ+1

4

．
∵-

λ

2

=

1

2

×

1-λ

2

，解得λ=-1．
∴圓C方程為x²+y²-2x-y+1=0．
（2）由（1）可得r2=

1

2

(λ+

1

2

)2+

1

8

≥

1

8

，∴動(dòng)圓C的面積的最小值為

1

8

π．
（3）設(shè)圓C方程為x²+y²-x+λ（x+y-1）=0，
令y=0，x²+（λ-1）x-λ=0，
∴（x-1）（x+λ）=0，x_M=1，x_N=-λ，-λ＞1．
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），
代入x²+y²=4得，（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），從而x1+x2=

2k2

1+k2

，x1x2=

k2-4

1+k2

．
∵

y1

x1+λ

+

y2

x2+λ

=

k[(x1-1)(x2+λ)+(x2-1)(x1+λ)]

(x1+λ)(x2+λ)

，
而（x₁-1）（x₂+λ）+（x₂-1）（x₁+λ）
=2x₁x₂-（-λ+1）（x₂+x₁）-2λ=2

k2-4

1+k2

-(-λ+1)

2k2

1+k2

-2λ=

2λ-8

1+k2

，
∵∠ANM=∠BNM，
∴

y1

x1+λ

+

y2

x2+λ

=0，即

2λ-8

1+k2

=0，得λ=-4．
當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)也成立．
∴圓C的方程為x²-5x+y²-4y+4=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．