Question

18．已知點P是拋物線x=$\frac{1}{4}$y²上的一個動點，則點P到點A（-1，2）的距離與點P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為（　�。�

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}-1$
• C． $\sqrt{5}-1$
• D． $\sqrt{5}+1$

Answer 1

分析 設(shè)P點在曲線y²=4x上的準(zhǔn)線l：x=-1上的射影為M，曲線y²=4x的焦點為F，利用拋物線的定義將點P到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為點P到焦點的距離，利用不等式的性質(zhì)即可得到答案．

解答 解：∵y²=4x的準(zhǔn)線方程為：x=-1，
設(shè)曲線y²=4x的焦點為F，則F（1，0），設(shè)曲線y²=4x上的動點P（x₀，y₀），
P點在曲線y²=4x上的準(zhǔn)線l：x=-1上的射影為M，由拋物線的定義可知，|PM|=|PF|，
又A（-1，2），
∴|AF|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴|PA|+|PM|=|PA|+|PF|≥|AF|=2$\sqrt{2}$．
∴點P到點A（-1，2）的距離與點P到x=-1的距離之和的最小值為2$\sqrt{2}$，
∴點P到點A（-1，2）的距離與點P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為2$\sqrt{2}$-1．
故選：B．

點評 本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，利用拋物線的定義將點P到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為點P到焦點的距離是關(guān)鍵，屬于中檔題．