Question

3．如圖，AB是圓O的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為B，直線(xiàn)ABD，CFD，CGE都是圓O的割線(xiàn)，已知AC=AB．
（1）若CG=1，CD=4，求$\frac{DE}{GF}$的值；
（2）求證：FG∥AC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，證出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此$\frac{DE}{GF}=\frac{CD}{CG}$；
（2）根據(jù)切割線(xiàn)定理證出AB²=AD•AE，所以AC²=AD•AE，證$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}$，結(jié)合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ADC=∠EGF，從而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．

解答 （1）解：由題意可得：G，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED，
∴△CGF～△CDE，
∴$\frac{DE}{GF}=\frac{CD}{CG}$，
又∵CG=1，CD=4，∴$\frac{DE}{FG}=4$
（2）證明：因?yàn)锳B為切線(xiàn)，AE為割線(xiàn)，AB²=AD•AE，
又因?yàn)锳C=AB，所以AD•AE=AC²，
所以$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}$，
又因?yàn)椤螮AC=∠DAC，所以△ADC～△ACE，所以∠ADC=∠ACE，
又因?yàn)椤螦DC=∠EGF，所以∠EGF=∠ACE，所以FG∥AC

點(diǎn)評(píng) 本題給出圓的切線(xiàn)與割線(xiàn)，求證直線(xiàn)互相平行，并求線(xiàn)段的比值．著重考查了切割線(xiàn)定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．