【題目】已知為平面上一點(diǎn),為直線:上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作直線的垂線,設(shè)線段的中垂線與直線交于點(diǎn),記點(diǎn)的軌跡為.
(1)求軌跡的方程;
(2)過點(diǎn)作互相垂直的直線與,其中直線與軌跡交于點(diǎn)、,直線與軌跡交于點(diǎn)、,設(shè)點(diǎn),分別是和的中點(diǎn),求的面積的最小值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)利用軌跡與方程的思想,構(gòu)造等量關(guān)系,求軌跡方程;
(2)用直線斜截式方程設(shè)直線方程與曲線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理求出點(diǎn),坐標(biāo),可將的面積表示為關(guān)于直線斜率的函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)求的面積的最小值.
(1)設(shè)點(diǎn)則,設(shè)的中點(diǎn)為,則,
且為的中垂線,
當(dāng)時(shí),
即,
∴
當(dāng)時(shí),,則
綜上所述點(diǎn)的軌跡的方程為;
(2)設(shè)直線的斜率為,
且,則直線的斜率為,
∵直線與軌跡交于點(diǎn)、,直線與軌跡交于點(diǎn)、,
∴,
∴直線的方程為,直線的方程為,
設(shè),聯(lián)立直線與曲線方程
∴
∴,
即,,
且點(diǎn)是的中點(diǎn),
∴
同理
設(shè)點(diǎn)到直線:的距離為,
∴,
,
∴,
∴的面積的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是菱形,PC⊥BC,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),且平面PBC⊥平面ABCD.求證:
(1)求證:PA∥平面BDE;
(2)求證:平面PAC⊥平面BDE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某外賣平臺(tái)為提高外賣配送效率,針對(duì)外賣配送業(yè)務(wù)提出了兩種新的配送方案,為比較兩種配送方案的效率,共選取50名外賣騎手,并將他們隨機(jī)分成兩組,每組25人,第一組騎手用甲配送方案,第二組騎手用乙配送方案.根據(jù)騎手在相同時(shí)間內(nèi)完成配送訂單的數(shù)量(單位:?jiǎn)危├L制了如下莖葉圖:
(1)根據(jù)莖葉圖,求各組內(nèi)25位騎手完成訂單數(shù)的中位數(shù),已知用甲配送方案的25位騎手完成訂單數(shù)的平均數(shù)為52,結(jié)合中位數(shù)與平均數(shù)判斷哪種配送方案的效率更高,并說明理由;
(2)設(shè)所有50名騎手在相同時(shí)間內(nèi)完成訂單數(shù)的平均數(shù),將完成訂單數(shù)超過記為“優(yōu)秀”,不超過記為“一般”,然后將騎手的對(duì)應(yīng)人數(shù)填入下面列聯(lián)表;
優(yōu)秀 | 一般 | |
甲配送方案 | ||
乙配送方案 |
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,判斷能否有的把握認(rèn)為兩種配送方案的效率有差異.
附:,其中.
0.05 | 0.010 | 0.005 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄存款年底余額(單位:億元)如圖所示,下列判斷一定不正確的是( )
A.城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄存款年底余額逐年增長(zhǎng)
B.農(nóng)村居民的存款年底余額所占比重逐年上升
C.到2019年農(nóng)村居民存款年底總余額已超過了城鎮(zhèn)居民存款年底總余額
D.城鎮(zhèn)居民存款年底余額所占的比重逐年下降
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國慶70周年閱兵式上的女兵們是一道靚麗的風(fēng)景線,每一名女兵都是經(jīng)過層層篩選才最終入選受閱方隊(duì),篩選標(biāo)準(zhǔn)非常嚴(yán)格,例如要求女兵身高(單位:cm)在區(qū)間內(nèi).現(xiàn)從全體受閱女兵中隨機(jī)抽取200人,對(duì)她們的身高進(jìn)行統(tǒng)計(jì),將所得數(shù)據(jù)分為,,,,五組,得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中第三組的頻數(shù)為75,最后三組的頻率之和為0.7.
(1)請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)和方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),可認(rèn)為受閱女兵的身高X(cm)近似服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差.
(i)求;
(ii)若從全體受閱女兵中隨機(jī)抽取10人,求這10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率.
參考數(shù)據(jù):若,則,,,,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)己知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)
①比較與的大小;
②若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,過的直線與拋物線相交于兩點(diǎn).
(1)若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),求面積的最小值;
(2)是否存在垂直于軸的直線,使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值?若存在,求出的方程和定值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】紅鈴蟲(Pectinophora gossypiella)是棉花的主要害蟲之一,其產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān).現(xiàn)收集到一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y(個(gè))和溫度x(℃)的8組觀測(cè)數(shù)據(jù),制成圖1所示的散點(diǎn)圖.現(xiàn)用兩種模型①,②分別進(jìn)行擬合,由此得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析,進(jìn)一步得到圖2所示的殘差圖.
根據(jù)收集到的數(shù)據(jù),計(jì)算得到如下值:
25 | 2.89 | 646 | 168 | 422688 | 48.48 | 70308 |
表中;;;;
(1)根據(jù)殘差圖,比較模型①、②的擬合效果,應(yīng)選擇哪個(gè)模型?并說明理由;
(2)根據(jù)(1)中所選擇的模型,求出y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),并求溫度為34℃時(shí),產(chǎn)卵數(shù)y的預(yù)報(bào)值.
(參考數(shù)據(jù):,,,)
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查某社區(qū)居民每天參加健身的時(shí)間,某機(jī)構(gòu)在該社區(qū)隨機(jī)采訪男性、女性各50名,其中每人每天的健身時(shí)間不少于1小時(shí)稱為“健身族”,否則稱其為"非健身族”,調(diào)查結(jié)果如下:
健身族 | 非健身族 | 合計(jì) | |
男性 | 40 | 10 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合計(jì) | 70 | 30 | 100 |
(1)若居民每人每天的平均健身時(shí)間不低于70分鐘,則稱該社區(qū)為“健身社區(qū)”. 已知被隨機(jī)采訪的男性健身族,男性非健身族,女性健身族,女性非健身族每人每天的平均健分時(shí)間分別是1.2小時(shí),0.8小時(shí),1.5小時(shí),0.7小時(shí),試估計(jì)該社區(qū)可否稱為“健身社區(qū)”?
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的情況下認(rèn)為“健身族”與“性別”有關(guān)?
參考公式: ,其中.
參考數(shù)據(jù):
0. 50 | 0. 40 | 0. 25 | 0. 05 | 0. 025 | 0. 010 | |
0. 455 | 0. 708 | 1. 321 | 3. 840 | 5. 024 | 6. 635 |
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