【題目】已知為平面上一點(diǎn)，為直線：上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，設(shè)線段的中垂線與直線交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為.

（1）求軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)作互相垂直的直線與，其中直線與軌跡交于點(diǎn)、，直線與軌跡交于點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，分別是和的中點(diǎn)，求的面積的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用軌跡與方程的思想，構(gòu)造等量關(guān)系，求軌跡方程；

（2）用直線斜截式方程設(shè)直線方程與曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)，坐標(biāo)，可將的面積表示為關(guān)于直線斜率的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求的面積的最小值.

（1）設(shè)點(diǎn)則，設(shè)的中點(diǎn)為，則，

且為的中垂線，

當(dāng)時(shí)，

即，

∴

當(dāng)時(shí)，，則

綜上所述點(diǎn)的軌跡的方程為；

（2）設(shè)直線的斜率為，

且，則直線的斜率為，

∵直線與軌跡交于點(diǎn)、，直線與軌跡交于點(diǎn)、，

∴，

∴直線的方程為，直線的方程為，

設(shè)，聯(lián)立直線與曲線方程

∴

∴，

即，，

且點(diǎn)是的中點(diǎn)，

∴

同理

設(shè)點(diǎn)到直線：的距離為，

∴，

，

∴，

∴的面積的最小值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PC⊥BC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，且平面PBC⊥平面ABCD.求證：

（1）求證：PA∥平面BDE；

（2）求證：平面PAC⊥平面BDE.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某外賣平臺(tái)為提高外賣配送效率，針對(duì)外賣配送業(yè)務(wù)提出了兩種新的配送方案，為比較兩種配送方案的效率，共選取50名外賣騎手，并將他們隨機(jī)分成兩組，每組25人，第一組騎手用甲配送方案，第二組騎手用乙配送方案.根據(jù)騎手在相同時(shí)間內(nèi)完成配送訂單的數(shù)量（單位：?jiǎn)危├L制了如下莖葉圖：

（1）根據(jù)莖葉圖，求各組內(nèi)25位騎手完成訂單數(shù)的中位數(shù)，已知用甲配送方案的25位騎手完成訂單數(shù)的平均數(shù)為52，結(jié)合中位數(shù)與平均數(shù)判斷哪種配送方案的效率更高，并說明理由；

（2）設(shè)所有50名騎手在相同時(shí)間內(nèi)完成訂單數(shù)的平均數(shù)，將完成訂單數(shù)超過記為“優(yōu)秀”，不超過記為“一般”，然后將騎手的對(duì)應(yīng)人數(shù)填入下面列聯(lián)表；

優(yōu)秀

一般

甲配送方案

乙配送方案

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷能否有的把握認(rèn)為兩種配送方案的效率有差異.

附：，其中.

0.05

0.010

0.005

3.841

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄存款年底余額（單位：億元）如圖所示，下列判斷一定不正確的是（ ）

A.城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄存款年底余額逐年增長(zhǎng)

B.農(nóng)村居民的存款年底余額所占比重逐年上升

C.到2019年農(nóng)村居民存款年底總余額已超過了城鎮(zhèn)居民存款年底總余額

D.城鎮(zhèn)居民存款年底余額所占的比重逐年下降

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】國慶70周年閱兵式上的女兵們是一道靚麗的風(fēng)景線，每一名女兵都是經(jīng)過層層篩選才最終入選受閱方隊(duì)，篩選標(biāo)準(zhǔn)非常嚴(yán)格，例如要求女兵身高（單位：cm）在區(qū)間內(nèi).現(xiàn)從全體受閱女兵中隨機(jī)抽取200人，對(duì)她們的身高進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將所得數(shù)據(jù)分為，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中第三組的頻數(shù)為75，最后三組的頻率之和為0.7.

（1）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認(rèn)為受閱女兵的身高X（cm）近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.

（i）求；

（ii）若從全體受閱女兵中隨機(jī)抽取10人，求這10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率.

參考數(shù)據(jù)：若，則，，，，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）己知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)

①比較與的大小；

②若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，過的直線與拋物線相交于兩點(diǎn).

（1）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值；

（2）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】紅鈴蟲（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害蟲之一，其產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān).現(xiàn)收集到一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）和溫度x（℃）的8組觀測(cè)數(shù)據(jù)，制成圖1所示的散點(diǎn)圖.現(xiàn)用兩種模型①，②分別進(jìn)行擬合，由此得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，進(jìn)一步得到圖2所示的殘差圖.

根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：

25

2.89

646

168

422688

48.48

70308

表中；；；；

（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說明理由；

（2）根據(jù)（1）中所選擇的模型，求出y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并求溫度為34℃時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)y的預(yù)報(bào)值.

（參考數(shù)據(jù)：，，，）

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了調(diào)查某社區(qū)居民每天參加健身的時(shí)間，某機(jī)構(gòu)在該社區(qū)隨機(jī)采訪男性、女性各50名，其中每人每天的健身時(shí)間不少于1小時(shí)稱為“健身族”，否則稱其為"非健身族”，調(diào)查結(jié)果如下：

健身族

非健身族

合計(jì)

男性

40

10

50

女性

30

20

50

合計(jì)

70

30

100

（1）若居民每人每天的平均健身時(shí)間不低于70分鐘，則稱該社區(qū)為“健身社區(qū)”. 已知被隨機(jī)采訪的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分時(shí)間分別是1.2小時(shí)，0.8小時(shí)，1.5小時(shí)，0.7小時(shí)，試估計(jì)該社區(qū)可否稱為“健身社區(qū)”？

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的情況下認(rèn)為“健身族”與“性別”有關(guān)？

參考公式： ，其中.

參考數(shù)據(jù)：

0. 50

0. 40

0. 25

0. 05

0. 025

0. 010

0. 455

0. 708

1. 321

3. 840

5. 024

6. 635

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同步練習(xí)冊(cè)答案