Question

（2012•天河區(qū)三模）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在側(cè)棱PC上．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）若Q是PC的中點(diǎn)，求證：PA∥平面BDQ；
（Ⅲ）若V_P-BCDE=2V_Q-ABCD，試求

CP

CQ

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明AD⊥PE，AD⊥BE，利用線面垂直的判定，即可證明AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OQ，利用三角形中位線的性質(zhì)，證明OQ∥PA，即可證明PA∥平面BDQ；
（Ⅲ）利用V_P-BCDE=2V_Q-ABCD，且底面積S_BCDE=

3

4

S_ABCD，即可求得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，PA=PD，
所以AD⊥PE．              …（1分）
因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠BAD=60°，
所以AB=BD，又因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，所以AD⊥BE．   …（2分）
因?yàn)镻E∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．  …（4分）
（Ⅱ）證明：連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OQ．…（5分）
因?yàn)镺是AC中點(diǎn)，Q是PC的中點(diǎn)，所以O(shè)Q為△PAC中位線．
所以O(shè)Q∥PA．                                            …（7分）
因?yàn)镻A?平面BDQ，OQ?平面BDQ．                      …（8分）
所以PA∥平面BDQ．                                      …（9分）
（Ⅲ）解：設(shè)四棱錐P-BCDE，Q-ABCD的高分別為h₁，h₂，
所以V_P-BCDE=

1

3

S_BCDEh₁，V_Q-ABCD=

1

3

S_ABCDh₂．                …（10分）
因?yàn)閂_P-BCDE=2V_Q-ABCD，且底面積S_BCDE=

3

4

S_ABCD．            …（12分）
所以

h1

h2

=

8

3

，…（13分）
因?yàn)?span id="zbjr91f" class="MathJye">

h1

h2

=

CP

CQ

，所以

CP

CQ

=

8

3

．                        …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查棱錐的體積計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用線面平行、垂直的判定方法，掌握棱錐的體積公式，屬于中檔題．