Question

9．如圖，在四面體P-ABC中，PA、AB、BC兩兩垂直，且AB=$\sqrt{6}$，BC=$\sqrt{2}$，則二面角B-AP-C的大小為（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，過(guò)B作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-AP-C的大�。�

解答 解：∵在四面體P-ABC中，PA、AB、BC兩兩垂直，且AB=$\sqrt{6}$，BC=$\sqrt{2}$，
∴以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，過(guò)B作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（$\sqrt{6}$，0，0），P（$\sqrt{6}$，0，t），C（0，$\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{PA}$=（0，0，-t），$\overrightarrow{PC}$=（-$\sqrt{6}$，$\sqrt{2}$，-t），
設(shè)平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-tz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-\sqrt{6}x+\sqrt{2}y-tz=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
平面PAB的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設(shè)二面角B-AP-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=30°．
∴二面角B-AP-C的大小為30°．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．