Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³$+\frac{1}{2}$（2+a）x²+（a-1）x，（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）定義若函數(shù)H（x）有三個(gè)零點(diǎn)，分別記為α，β，γ，且α＜β＜γ，則稱β為H（x）的中間零點(diǎn)，設(shè)x=t是函數(shù)g（x）=（x-t）f′（x）的中間零點(diǎn)．
（i）當(dāng)t=1時(shí)，求a的取值范圍；
（ii）當(dāng)t=a時(shí)，設(shè)x₁，x₂，x₃是函數(shù)g（x）=（x-a）f′（x）的3個(gè)零點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)b，使x₁，x₂，x₃，b的某種排列成等差數(shù)列，若存在求出b的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）（i）當(dāng)t=1時(shí)，求得g（x），當(dāng)x=1是g（x）=（x-t）f′（x）的中間零點(diǎn)，令h（x）=x²+（a+2）x+a-1，則h（1）=2a+2＜0，即可求得a的取值范圍；
（ii）由題意可知x₁，x₃，是x²+（a+2）x+a-1=0，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，分別討論x₁，x₂，x₃，b的排列，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求得b的值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，則f（x）=$\frac{1}{3}$x³-3x，
f′（x）=x²-3，令f′（x）=0，解得：x=±$\sqrt{3}$，
當(dāng)x∈（-∞，-$\sqrt{3}$）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
x∈（$\sqrt{3}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
綜上可知：當(dāng)x∈（-∞，-$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}$，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；
（Ⅱ）（i）g（x）=（x-t）f′（x）=（x-t）[x²+（a+2）x+a-1]，
由當(dāng)x=1是g（x）=（x-t）f′（x）的中間零點(diǎn)，
令h（x）=x²+（a+2）x+a-1，則需要h（1）=2a+2＜0，
即a＜-1，
∴a的取值范圍（-1，+∞）；
（ii）假設(shè)存在b滿足條件，不妨x₂=a，x₁＜x₃，
則x₁＜x₂=a＜x₃，則x₁，x₃，是x²+（a+2）x+a-1=0，
則x₁+x₃=-（a+2），x₁x₃=a-1，
則x₁=$\frac{-（a+2）-\sqrt{{a}^{2}+8}}{2}$，x₃=$\frac{-（a+2）+\sqrt{{a}^{2}+8}}{2}$，
①當(dāng)x₁，a，x₃，b成等差數(shù)列，則x₁+x₃=2a=-a-2，解得：a=-$\frac{2}{3}$，
則x₃-x₁=b-a=$\sqrt{{a}^{2}+8}$，
則b=a+$\sqrt{{a}^{2}+8}$=-$\frac{2}{3}$+$\sqrt{\frac{4}{9}+8}$=$\frac{2\sqrt{19}-2}{3}$，
②當(dāng)b，x₁，a，x₃成等差數(shù)列，同理求得x₃-x₁=a-b=$\sqrt{{a}^{2}+8}$，
則b=a-$\sqrt{{a}^{2}+8}$=-$\frac{2}{3}$-$\sqrt{\frac{4}{9}+8}$=-$\frac{2\sqrt{19}+2}{3}$，
③當(dāng)x₁，b，a，x₃成等差數(shù)列，同理求得x₃+x₁=a+b=-（a+2），則a=-$\frac{1}{2}$b-1，
x₁=2b-a=2b+$\frac{2}$+1=$\frac{5}{2}b$+1，x₃=2a-b=-b-2-b=-2b-2，
∴x₁x₃=（$\frac{5}{2}b$+1）（-2b-2）=-5b²-7b-2=a-1=-$\frac{2}$-2，
整理得：5b²+$\frac{13}{2}$b=0，解得：b=0或b=-$\frac{13}{10}$，
經(jīng)檢驗(yàn)b=0，b=-$\frac{13}{10}$，滿足題意，
④當(dāng)x₁，a，b，x₃成等差數(shù)列，x₁+x₃=a+b=-（a+2），則2a=-b-2，
x₁=2a-b=-2b-2，x₃=2b-a=2b+$\frac{2}$+1=$\frac{5b}{2}$+1，
則x₁x₃=（-2b-2）（$\frac{5b}{2}$+1）=-5b²-7b-2=a-1=-$\frac{2}$-2，
解得：b=0，或b=-$\frac{13}{10}$，
經(jīng)檢驗(yàn)b=0，b=-$\frac{13}{10}$，滿足題意，
綜上所述：b的取值為$\frac{2\sqrt{19}-2}{3}$，-$\frac{2\sqrt{19}+2}{3}$，0或-$\frac{13}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，等差數(shù)列的性質(zhì)與韋達(dá)定理的綜合應(yīng)用，考查分類討論思想，屬于難題．