Question

8．設(shè)m為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=-e^2x+2x+m．x∈R
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)m≤1且x＞0時(shí)，e^2x＞2x+2mx+1．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的極值，通過導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極值．
（2）令  g（x）=2x²+2mx-e^2x+1，求出導(dǎo)函數(shù)g'（x）=-2e^2x+4x+2m=2（-e^2x+2x+m）=2f（x），利用函數(shù)的單調(diào)性以及最值求解即可．

解答 解：（1）f（x）=-e^2x+2x+m令f'（x）=0
即-2e^2x+2=0⇒x₀=0…（2分）

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	單增	極大值	單減

…（4分）
f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，0），單調(diào)減區(qū)間是（0，+∞）．
f（x）_極大值=f（0）=m-1…（6分）
（2）要證e^2x＞2x+2mx+1   即2x²+2mx-e^2x+1＜0
令  g（x）=2x²+2mx-e^2x+1…（8分）
g'（x）=-2e^2x+4x+2m=2（-e^2x+2x+m）
=2f（x）…（9分）
因?yàn)?nbsp;m≤1f（x）_極大值=f（0）=m-1≤0，所以 g'（x）≤0
因此  g（x）單調(diào)遞減，g（x）_max=g（0）=0所以g（x）＜0恒成立
即 e^2x＞2x+2mx+1…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值以及函數(shù)的極值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及構(gòu)造法的應(yīng)用．