Question

19．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，A，B是拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=$\frac{π}{2}$．設線段AB的中點M在l上的投影為N，則$\frac{{|{AB}|}}{{|{MN}|}}$的最小值是（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 設|AF|=a、|BF|=b，由拋物線定義結合梯形的中位線定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|²=a²+b²，結合基本不等式求得|AB|的范圍，從而可得$\frac{{|{AB}|}}{{|{MN}|}}$的最小值．

解答 解：設|AF|=a，|BF|=b，A、B在準線上的射影點分別為Q、P，連接AQ、BQ　　
由拋物線定義，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中根據(jù)中位線定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得|AB|²=a²+b²，整理得：|AB|²=（a+b）²-2ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$） ²，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-2×（$\frac{a+b}{2}$） ²=$\frac{1}{2}$（a+b）²，
則|AB|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）．
∴$\frac{{|{AB}|}}{{|{MN}|}}$≥$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（a+b）}{\frac{1}{2}（a+b）}$=$\sqrt{2}$，即$\frac{{|{AB}|}}{{|{MN}|}}$的最小值為$\sqrt{2}$．
故選C．

點評 本題考查拋物線的定義、簡單幾何性質(zhì)，基本不等式求最值，余弦定理的應用等知識，屬于中檔題