Question

1．將圓C：x²+y²=4上點的橫坐標(biāo)的單位長度保持不變，縱坐標(biāo)的單位長度縮短為原來的$\frac{1}{2}$．
（1）求壓縮后的曲線方程；
（2）圓C上點P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）的切線，經(jīng)過壓縮后與壓縮后曲線有何關(guān)系？

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓上的點M（x₀，y₀），N（x，y）為曲線C'上的點，即有x₀=x，y₀=2y，運(yùn)用代入法，即可得到所求曲線的方程；
（2）求得圓上P處的切線方程，由x₀=x，y₀=2y，可得直線x+2y=2$\sqrt{2}$，代入橢圓方程，運(yùn)用判別式即可判斷位置關(guān)系：相切．

解答 解：（1）設(shè)圓上的點M（x₀，y₀），N（x，y）為曲線C'上的點，
即有x₀=x，y₀=2y，
由x₀²+y₀²=4，即為x²+4y²=4，
則壓縮后的曲線方程為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）圓C上點P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）的切線的斜率為-1，
可得方程為y-$\sqrt{2}$=-（x-$\sqrt{2}$），
化為x+y=2$\sqrt{2}$，
由x₀=x，y₀=2y，可得直線x+2y=2$\sqrt{2}$，
聯(lián)立橢圓方程x²+4y²=4，
可得x²+（2$\sqrt{2}$-x）²=4，
即為x²-2$\sqrt{2}$x+2=0，可得△=8-4×2=0，
即有經(jīng)過壓縮后的直線與壓縮后曲線相切．

點評 本題考查橢圓與圓的關(guān)系，注意運(yùn)用坐標(biāo)關(guān)系，考查直線和圓相切的條件，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，注意運(yùn)用判別式法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．