Question

已知

a

，

b

，

c

是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中

a

=（2，2），

b

=（-3，4）．
（Ⅰ）若

c

=（8，1），且（

a

-2

b

）∥（k

a

+

c

），求實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅱ）若|

c

|=2，且

a

與

c

的夾角為45°．求證：（

1

2

a

-

c

）⊥

a

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平行向量與共線向量,數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出向量

a

-2

b

和k

a

+

c

的坐標(biāo)，根據(jù)共線向量基本定理，存在實(shí)數(shù)λ，使k

a

+

c

=λ(

a

-2

b

)，帶入坐標(biāo)即可求出k；
（Ⅱ）根據(jù)向量

a

的坐標(biāo)，求|

a

|，根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式即可求出(

1

2

a

-

c

)•

a

=0，所以得出(

1

2

a

-

c

)⊥

a

．

解答： 解：（Ⅰ）

a

-2

b

=(8，-6)，k

a

+

c

=(2k+8，2k+1)；
∵(

a

-2

b

)∥(k

a

+

c

)，∴存在實(shí)數(shù)λ使：k

a

+

c

=λ(

a

-2

b

)；
∴

2k+8=8λ 2k+1=-6λ

，解得k=-2；
（Ⅱ）由已知條件知：(

1

2

a

-

c

)•

a

=

1

2

a

2-

c

•

a

=4-2×2

2

×

2

2

=0；
∴(

1

2

a

-

c

)⊥

a

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的坐標(biāo)，共線向量基本定理，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度，向量數(shù)量積的計(jì)算公式．