Question

3．已知正三棱柱（底面是正三角形，側(cè)棱與底面垂直）的體積為3$\sqrt{3}$cm³，所有頂點都在球O的球面上，則球O的表面積的最小值為12πcm²．

Answer 1

分析 由題意可設(shè)正三角形的邊長為a，側(cè)棱為h，根據(jù)體積關(guān)系可以求得h=$\frac{12}{{a}^{2}}$，即可求出正三角形的外接圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，進(jìn)而空間幾何關(guān)系可以求得球O的半徑關(guān)于a的關(guān)系式，通過整理，拆分，靈活運用基本不等式，即可求出最值，但應(yīng)當(dāng)注意運用基本不等式取得等號的條件．

解答 解：設(shè)正三角形的邊長為a，側(cè)棱為h，則$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}h$=3$\sqrt{3}$，
∴h=$\frac{12}{{a}^{2}}$，
∵正三角形的外接圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴球O的半徑r為$\sqrt{\frac{1}{3}{a}^{2}+\frac{36}{{a}^{4}}}$≥$\sqrt{3}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{2}{a}^{2}=\frac{108}{{a}^{4}}$時，球O的半徑取得最小值，即a=$\sqrt{6}$，（舍去負(fù)值）．
∴球O的表面積的最小值為4πr²=12π．
故答案為：12π．

點評 本題考查空間幾何體中位置關(guān)系、球和正棱柱的性質(zhì)，考查學(xué)生的運算能力和空間形象能力，考查學(xué)生靈活運用基本不等式進(jìn)行求解最值的能力，屬于中檔題．