Question

設定義在R上的函數，若關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有5個不同實數解，則實數a的取值范圍是（ ）
A．（0，1）
B．（-∞，-1）
C．（1，+∞）
D．（-∞，-2）∪（-2，-1）

Answer 1

【答案】分析：題中原方程f²（x）+af（x）+b=0有且只有5個不同實數解，即要求對應于f（x）=某個常數有3個不同實數解，故先根據題意作出f（x）的簡圖，由圖可知，只有當f（x）=1時，它有三個根．且當f（x）=k，K＞0且k≠1時，關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有5個不同實數解，據此即可求得實數a的取值范圍．
解答：解：∵題中原方程f²（x）+af（x）+b=0有且只有5個不同實數解，
∴即要求對應于f（x）等于某個常數有3個不同實數解，
∴故先根據題意作出f（x）的簡圖：
由圖可知，只有當f（x）=1時，它有三個根．
故關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0中，
有：1+a+b=0，b=-1-a，
且當f（x）=k，k＞0且k≠1時，關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有5個不同實數解，
∴k²+ak-1-a=0，
a=-1-k，∵k＞0且k≠1，
∴a∈（-∞，-2）∪（-2，-1）
故選D．
點評：數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．