Question

已知橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線是拋物線的一條切線．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線L交橢圓C于A、B兩點(diǎn).問(wèn)：是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T ? 若存在，求點(diǎn)T坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）T（0，1）

（Ⅰ）由
因直線相切，，∴，
……2分
∵圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角
形，∴                                   …… 4分
故所求橢圓方程為                            ……5分
（Ⅱ）當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：
當(dāng)L與x軸垂直時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：  
由
即兩圓公共點(diǎn)（0，1）
因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）                ……8分
（�。┊�(dāng)直線L斜率不存在時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T（0，1）
（ⅱ）若直線L斜率存在時(shí)，可設(shè)直線L：
由
記點(diǎn)、           ……10分

 
           
∴TA⊥TB,
綜合（ⅰ）（ⅱ），以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T（0，1）.            ……12分