Question

1．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（-2，4），$\overrightarrow{OB}$=（3，-1），$\overrightarrow{OC}$=（m，-4）．
（1）當m=-3時，求向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BC}$夾角的余弦值；
（2）若△ABC為直角三角形，且∠A為直角，求實數m的值．

Answer 1

分析 （1）根據向量的坐標運算和向量的夾角公式即可求出，
（2）根據向量的垂直的條件，即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，代值計算即可．

解答 解：（1）當m=-3時，$\overrightarrow{OC}$=（-3，-4），
∵量$\overrightarrow{OA}$=（-2，4），$\overrightarrow{OB}$=（3，-1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（5，-5），$\overrightarrow{BC}$=（-6，-3），
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=5×（-6）+（-5）×（-3）=-15，
|$\overrightarrow{AB}$|=5$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{BC}$=3$\sqrt{5}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{-15}{5\sqrt{2}•3\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
（2）由（1）知$\overrightarrow{AB}$=（5，-5），$\overrightarrow{AC}$=（m+2，-8），
∵∠A為直角，
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
即5（m+2）+40=0，
解得m=-10

點評 本題考查了向量的夾角公式和向量的垂直的條件，屬于基礎題．