Question

10．記M（x，y，z）為x，y、z三個(gè)數(shù)中的最小數(shù)．若二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c＞0）有零點(diǎn)，則M（$\frac{b+c}{a}$，$\frac{c+a}$，$\frac{a+b}{c}$）的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 由題意可得b²-4ac≥0，即為b≥2$\sqrt{ac}$，由最小數(shù)定義，運(yùn)用換元法，不等式的性質(zhì)和最值的定義，即可得到所求M的最大值$\frac{5}{4}$．

解答 解：設(shè)N（x，y，z）為x，y，z中的最大值．
由a，b，c＞0，可得M（$\frac{b+c}{a}$，$\frac{c+a}$，$\frac{a+b}{c}$）=M（$\frac{a+b+c}{a}$，$\frac{a+b+c}$，$\frac{a+b+c}{c}$）-1
=$\frac{1}{N（\frac{a}{a+b+c}，\frac{a+b+c}，\frac{c}{a+b+c}）}$-1，
則M（$\frac{b+c}{a}$，$\frac{c+a}$，$\frac{a+b}{c}$）的最大，即為N（$\frac{a}{a+b+c}$，$\frac{a+b+c}$，$\frac{c}{a+b+c}$）的最小．
記$\frac{a}{a+b+c}$=t，$\frac{a+b+c}$=u，$\frac{c}{a+b+c}$=v，則t+u+v=1，
二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c＞0）有零點(diǎn)，
可得△=b²-4ac≥0，即為b≥2$\sqrt{ac}$，
即為u²≥4tv，當(dāng)N（t，u，v）=t時(shí)，由t≥u，即t²≥u²≥4tv，
可得v≤$\frac{t}{4}$，則1=t+u+v≤t+t+$\frac{t}{4}$，即有t≥$\frac{4}{9}$，當(dāng)且僅當(dāng)u=t=4v時(shí)，取得等號(hào)．
則N（t，u，v）的最小值為$\frac{4}{9}$，
同理可得當(dāng)N（t，u，v）=v時(shí)，N（t，u，v）的最小值為$\frac{4}{9}$；
當(dāng)N（t，u，v）=u時(shí)，假設(shè)u＜$\frac{4}{9}$，
由u+v+t=1≤2u+v＜$\frac{8}{9}$+v，即v＞$\frac{1}{9}$，
又因?yàn)関≤u＜$\frac{4}{9}$，則$\frac{1}{9}$＜v＜$\frac{4}{9}$．
又uv≤u²＜$\frac{16}{81}$，所以t＜$\frac{4}{81v}$即t+v＜v+$\frac{4}{81v}$，
由$\frac{1}{9}$＜v＜$\frac{4}{9}$，對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，可得v+$\frac{4}{81v}$＜$\frac{5}{9}$，
則t+v＜$\frac{5}{9}$，又u＜$\frac{4}{9}$，可得u+v+t＜1與u+v+t=1矛盾，
故假設(shè)不成立，即u≥$\frac{4}{9}$，即N（t，u，v）≥$\frac{4}{9}$，
綜上可得，N（t，u，v）的最小值為$\frac{4}{9}$，
則M（$\frac{b+c}{a}$，$\frac{c+a}$，$\frac{a+b}{c}$）的最大值為$\frac{1}{\frac{4}{9}}$-1=$\frac{5}{4}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，函數(shù)最值的求法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法和不等式的性質(zhì)，同時(shí)考查函數(shù)零點(diǎn)的理解和運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，具有一定的難度．