Question

11．在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=2．
（1）求證：CE∥平面PAB．
（2）若F為PC的中點，求F到平面AEC的距離．

Answer 1

分析 （1）取AD中點M，連EM，CM．說明EM∥PA．推出EM∥平面PAB，證明MC∥平面PAB，然后證明EC∥平面PAB．
（2）說明EF為三棱錐E-AFC的高，設F到平面AEC的距離為h，利用V_E-FAC=V_F-AEC，求解F到平面AEC的距離．

解答 （1）證明：在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴BC=$\sqrt{3}$，AC=2．
取AD中點M，連EM，CM．則EM∥PA．
∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，∴EM∥平面PAB
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，
∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．
∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，∴MC∥平面PAB 
∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC?平面EMC，∴EC∥平面PAB-----------（5分）
（2）解：∵PA=CA，F(xiàn)為PC的中點，∴AF⊥PC
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．
又EF∥CD，∴EF⊥平面PAC．即EF為三棱錐E-AFC的高
因為$CD=2\sqrt{3}$，得$EF=\sqrt{3}$，-----------（7分）
從而${V_{E-FAC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（\frac{1}{2}AC•AP）•EF=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（\frac{1}{2}×2×2）×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
在Rt△PAD中，$AE=CE=\frac{1}{2}PD=\frac{1}{2}×\sqrt{{2^2}+{2^2}+{{（2\sqrt{3}）}^2}}=\sqrt{5}$
于是${S_{△ACE}}=\frac{1}{2}AC•\sqrt{{{（\sqrt{5}）}^2}-1}=2$，設F到平面AEC的距離為h
由V_E-FAC=V_F-AEC即$\frac{1}{3}×2h=\frac{{\sqrt{3}}}{3}⇒h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
故F到平面AEC的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$------------（12分）

點評 本題考查直線與平面平行，平面與平面平行的判斷與性質，點到平面的距離的距離的求法，等體積方法的應用，考查轉化思想以及計算能力．