Question

已知函數(shù)f（x）=

kx+ka，x≥0 1 3 x3- 1 2 (a+1)x2+ax-a2-1，x＜0.

其中a∈R，若對任意的非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₁≠x₂），使得f（x₁）=f（x₂）成立，則k的最大值為（　�。�

• A、-1
• B、-2
• C、-3
• D、-4

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（x-a）（x-1），結(jié)合分段函數(shù)的表達(dá)式從而確定函數(shù)的單調(diào)性，利用基本不等式進(jìn)行求解即可．

解答： 解：由分段函數(shù)可得f（0）=ka，
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），
若對任意的非零的實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零的實(shí)數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，
則知函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=k（x+a），此時(shí)對應(yīng)直線和x軸的交點(diǎn)為（-a，0），
若a＜0，則不滿足函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=

kx， x≥0 1 3 x3-1， x＜0

，此時(shí)不滿足條件，
故a＞0，
而由-a²-1=ka知，
k=

-a2-1

a

=-（a+

1

a

）≤-2

a• 1 a

=-2，
（當(dāng)且僅當(dāng)a=

1

a

，即a=1時(shí)，等號成立）；
故k的最大值為-2，
故選：B

點(diǎn)評：本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一點(diǎn)的難度．