Question

已知橢圓C：+y²=1（a＞1）的上頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，直線AF與圓M：x²+y²+6x-2y+7=0相切．過點(diǎn)（0，-）的直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（II）當(dāng)△APQ的面積達(dá)到最大時(shí)，求直線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）寫出直線AF的方程，由直線AF與圓M相切得關(guān)于c的方程，解出c再由a²=c²+b²即可求得a值；
（II）易判斷直線PQ的斜率存在，設(shè)出其點(diǎn)斜式方程，根據(jù)弦長公式表示出PQ，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出點(diǎn)A（0，1）到直線PQ的距離，由三角形面積公式可表示出△APQ的面積，根據(jù)該函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求得面積最大時(shí)k的值；
解答：解：（I）將圓M的一般方程x²+y²+6x-2y+7=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程（x+3）²+（y-1）²=3，則圓M的圓心M（-3，1），半徑．
由得直線AF的方程為x-cy+c=0．
由直線AF與圓M相切，得，
解得或（舍去）．
當(dāng)時(shí)，a²=c²+1=3，
故橢圓C的方程為．
（II）由題意可知，直線PQ的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，則直線PQ的方程為．
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以對任意k∈R，直線都與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)．
由得．
設(shè)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則，
所以==．
又因?yàn)辄c(diǎn)A（0，1）到直線的距離，
所以△APQ的面積為．
設(shè)，則0＜t≤1且，．
因?yàn)?＜t≤1，所以當(dāng)t=1時(shí)，△APQ的面積S達(dá)到最大，
此時(shí)，即k=0．
故當(dāng)△APQ的面積達(dá)到最大時(shí)，直線的方程為．
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及直線與圓方程的求解，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力，有關(guān)的基本公式、常用方程是解決問題的基礎(chǔ)．